In diesem Kurs geht es um die Einführung von Quadratwurzeln und die zugehörigen Rechenregeln.

Dauer: ca. 1,5 h

Vorwissen

Du solltest wissen, was die Menge der rationalen Zahlen ist. Außerdem sind Kenntnisse rund um den Betrag hilfreich.

Du lernst:

• Definition einer Quadratwurzel

• Rechnen mit Quadratwurzeln

• teilweises Wurzelziehen

• Rationalmachen des Nenners

Karl ist absoluter Profi, wenn es darum geht, sich etwas zu merken. (Spitzname: Ein-Merk-Karl)

Heute hat er 42 quadratische Karten, mit denen er ein Memorier-Spiel spielen möchte.

Karl findet, dass er sich die Position der Karten besser merken kann, wenn in jeder Reihe und Spalte gleich viele Karten liegen, wie das zum Beispiel in der Abbildung rechts gezeigt wird.

Wird es Karl gelingen, die 42 Karten in Form eines Quadrats anzuordnen?

Karl fängt an, die Karten in immer größeren Quadraten anzuorden.

Dabei stellt er fest, dass das größte Quadrat, das er aus $4242$ Karten legen kann, an jeder Seite $66$ Karten hat. Somit besteht das größte Karten-Quadrat aus $3636$ Karten, $66$ Karten bleiben übrig.

Karls Freund, der schlaue Mathematicus, mag Karls Herangehensweise nicht. Karl probiert zu viel aus, bemängelt er.

Mathematicus hat eine bessere Strategie, bei der ihm sogar der Taschenrechner helfen kann.

Die Anzahl der Karten einer (Quadrat-)Seite bezeichnet Mathematicus mit $kk$. Da das Quadrat dann $kk$ Reihen à $kk$ Karten hat, benötigt er dafür insgesamt $k\cdot kk\backslash cdot\; k$ Karten.

Die $4242$ Karten, die im Spiel enthalten sind, sollen zu einem Quadrat mit $k\cdot k=k^{2}k\backslash cdot\; k=k^2$ Karten gelegt werden. Daher stellt Mathematicus die Gleichung $k^2=42k^2=42$ auf.

Diese Gleichung möchte er nach $kk$ auflösen. Die Definition auf der nächsten Seite hilft ihm dabei.

Die Quadratwurzel $\sqrt{a}\backslash sqrt\{a\}$ ist diejenige nicht negative Zahl, deren Quadrat $aa$ ergibt. Dabei muss $aa$ eine nicht negative Zahl sein.

„Nicht negativ“ heißt „positiv oder $00$“.

$\backslash ;$

Wie du schon in der Definition gelernt hast, ist $aa$ eine nicht negative Zahl. Im folgenden schauen wir uns ein paar Lösungen von einfachen Wurzeln an, indem wir für $aa$ die Zahlen $9,\frac{1}{16}\text{und}09,\backslash frac\{1\}\{16\}\backslash text\{und\}\backslash ;0$ einsetzen:

Allgemein können wir also eine Wurzelgleichung der Form $\sqrt{a}=x\backslash sqrt\; a=x$ lösen, wenn $a\ge 0a\backslash geq0$ ist. Wie sieht es aber bei einem negativen Radikanden aus?

:

Wir wählen zum Beispiel $a=-4a=-4$:

Wir suchen eine Zahl $xx$, für die wir wie oben schreiben können:

$\sqrt{-4}=x,\text{ da }{x}^2=-4\backslash sqrt\{-4\}=x,\backslash text\{\; da\; \}\; x^2=-4$

Hier kannst du allerdings kein $xx$ finden, welches $x^2=-4x^2=-4\backslash ;$ löst.

Wenn du eine beliebige rationale Zahl $xx$ mit sich selbst multiplizierst, erhältst du immer eine positive Zahl oder $00$. Somit gibt es keine Zahl, die du für $xx$ einsetzen kannst, damit die Aussage $x^2=-4x^2=-4$ stimmt.

Wenn du die Wurzel von einem Quadrat berechnen möchtest, kannst du einfach die Basis in Betrag setzen.

Du weißt aus der Definition, dass eine Quadratwurzel nicht negativ sein kann.

Du kannst in diesem Fall für $aa$ auch negative Zahlen einsetzen, da durch das Quadrieren nur positive Zahlen oder die $00$ unter der Wurzel stehen.

Nach Definition ist das Ergebnis vom Wurzelziehen keine negative Zahl. Um das zu verhindern, verwendest du den Betrag $\mathrm{\mid }\dots \mathrm{\mid }|\backslash ldots|$. Durch den Betrag werden alle Zahlen, die du einsetzen kannst, positiv.

Wie du vielleicht schon bemerkt hast, haben wir diese Regel bei den vorherigen Beispielen schon angewandt.

$\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3\backslash sqrt\{9\}=\backslash sqrt\{3^2\}=3$

Wenn allerdings eine Wurzel quadriert wird, sind Betragsstriche nicht notwendig:

Warum kann man hier die Betragsstriche weglassen? Zwar wäre die Lösung ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=\mid a\mid \backslash left(\backslash sqrt\; a\backslash right)^2=\backslash left|a\backslash right|$ auch richtig, jedoch darfst du in $\sqrt{a}\backslash sqrt\{a\}$ nach Definition der Quadratwurzel nur positive rationale Zahlen einsetzen. Da du für $aa$ gar keine negativen Zahlen einsetzen darfst, sind die Betragsstriche überflüssig.

Karl und Mathematicus besuchen dieselbe Klasse. Als Hausaufgabe sollen die beiden folgende quadratische Gleichung mit Hilfe der Quadratwurzel lösen:

Am Abend unterhalten sich beide über die Hausaufgabe.

Wer von den beiden hat recht?

Mathematicus hat recht.

Die richtige Lösung der Aufgabe ist deswegen:

Hier verwendest du die Regel, dass Betragsstriche gesetzt werden müssen, wenn der Radikand quadriert ist.

(alternativ: $x=\pm 2x=\backslash pm\; 2$)

$\mathsf{\text{Achtung:}}\backslash color\{red\}\{\backslash textsf\{Achtung:\}\}$

Bei Sachaufgaben muss man aufpassen, welche Lösungen im Sachkontext Sinn ergeben.

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Addition und Subtraktion von Wurzeln

Addition von Wurzeln

Beispiel:

$3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}3\; \backslash sqrt\{2\}\; +\; 4\; \backslash sqrt\{2\}=7\backslash sqrt\{2\}$

Subtraktion von Wurzeln

Beispiel:

$5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}5\; \backslash sqrt\{2\}\; -\; 3\; \backslash sqrt\{2\}=2\backslash sqrt\{2\}$

Du siehst, dass in diesen beiden Wurzelgesetzen die Umkehrung des Distributivgesetzes benutzt wurde.

$\mathsf{\text{Achtung!}}\backslash color\{\#cc0000\}\{\backslash textsf\{Achtung!\}\}$

Du kannst Wurzeln nur subtrahieren oder addieren, wenn der Radikand gleich ist.

Also:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}\mathrm{\ne }\sqrt{a+b}\backslash sqrt\; a+\backslash sqrt\; b\; \backslash color\{\#cc0000\}\{\backslash neq\}\; \backslash sqrt\{a+b\}$

$\sqrt{a}-\sqrt{b}\mathrm{\ne }\sqrt{a-b}\backslash sqrt\; a-\backslash sqrt\; b\; \backslash color\{\#cc0000\}\{\backslash neq\}\; \backslash sqrt\{a-b\}$

Beispiele:

$\sqrt{9}+\sqrt{16}\mathrm{\ne }\sqrt{9+16}\backslash sqrt\; \{9\}+\backslash sqrt\; \{16\}\; \backslash color\{\#cc0000\}\{\backslash neq\}\; \backslash sqrt\{9+16\}$

$\sqrt{9}-\sqrt{4}\mathrm{\ne }\sqrt{9-4}\backslash sqrt\; 9-\backslash sqrt\; 4\; \backslash color\{\#cc0000\}\{\backslash neq\}\; \backslash sqrt\{9-4\}$

Multiplikation und Division von Wurzeln

Multiplikation von Wurzeln

Division von Wurzeln

Bezeichnung

Allgemeine Form

Beispiel

Wurzel aus Quadrat

$\sqrt{a^2}=\mid a\mid \backslash sqrt\{a^2\}=\backslash left|a\backslash right|$

$\sqrt{{(-2)}^2}=\mid -2\mid =2\backslash sqrt\{\backslash left(-2\backslash right)^2\}=\backslash left|-2\backslash right|=2$

Quadrat einer Wurzel

$(\sqrt{a}{)}^2=\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a(\backslash sqrt\; a)^2=\backslash sqrt\; a\backslash cdot\backslash sqrt\; a=a$

$\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3\backslash sqrt3\backslash cdot\backslash sqrt3=3$

Wurzel als Potenz

$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}\backslash sqrt\; a\; =\; a^\{\backslash frac12\}$

$\sqrt{17}={17}^{\frac{1}{2}}\backslash sqrt\{17\}\; =17^\{\backslash frac12\}$

$\sqrt{a^m}=a^{\frac{m}{2}}\backslash sqrt\; \{a^m\}\; =\; a^\{\backslash frac\; m\; 2\}$

$\sqrt{a^5}=a^{\frac{5}{2}}\backslash sqrt\; \{a^5\}\; =\; a^\{\backslash frac\; 5\; 2\}$

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Mit Zahlen der Form $\frac{a}{\sqrt{b}}\backslash frac\; a\{\backslash sqrt\; b\}$ kannst du besser weiterrechnen, wenn du den Bruch umformst. Dabei möchtest du erreichen, dass im Nenner keine Wurzel (also keine irrationale Zahl) steht.

Dafür erweiterst du den Bruch mit $\sqrt{b}\backslash sqrt\{b\}$. Dadurch erhältst du:

Beispiel:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Du weißt, dass du $\sqrt{8}\backslash sqrt\{8\}$ nicht im Kopf berechnen kannst.Jedoch gibt es eine Möglichkeit diesen Ausdruck zu vereinfachen, indem du den Radikand möglichst klein machst.

Mithilfe des Wurzelgesetzes zum Multiplizieren von Wurzeln, kannst du die Wurzel in zwei Teile teilen. Aus einem dieser Teile kannst du die Wurzel ziehen, der andere Teil bleibt unverändert.

Du kannst die Wurzel durch diese Zerlegung teilweise lösen und Rechenausdrücke sowie Terme vereinfachen.

Eine Schritt für Schritt Anleitung:

Du weißt jetzt, was eine Quadratwurzel ist und wie du damit rechnest. Außerdem hast du gelernt, wie du Wurzeln umformen kannst, sodass du besser damit weiterrechnen kannst.

Wenn du jetzt noch wissen willst, wie du z. B. den Wert von $\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$ annäherungsweise berechnen kannst, dann schau dir doch mal den Kurs Berechnung von Wurzeln an.

Interessiert dich, warum z. B. $\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$ keine rationale Zahl ist und in welcher Zahlenmenge $\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$ liegt, dann findest mehr dazu im Kurs Reelle Zahlen.

Möchtest du wissen, wie du die Lösung von $x^4=64x^4\; =\; 64$ berechnest und wie du Gleichungen mit höheren Potenzen löst, dann schau doch mal bei höheren Wurzeln vorbei.